Упр.19.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 6x * cos x + cos 6x * sin x = 1/2;
б) cos 5x * cos 7x — sin 5x * sin 7x = -корень(3)/2.

а) Используем формулу суммы синуса:

$$\sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \sin(6x+x)=\sin 7x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\sin 7x=\frac12.$$

Общее решение для синуса:

$$7x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $7$:

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos 5x\cos 7x-\sin 5x\sin 7x=\cos(5x+7x)=\cos 12x.$$

Получаем:

$$\cos 12x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Общее решение для косинуса:

$$12x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $12$:

$$x=\pm\frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm\frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$