Упр.19.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:
а) sin 2x cos x + cos 2x sinx = 1;
6) cos 3x cos 5x = sin 3x sin 5x.

1. а) Используем формулу синуса суммы:

   $$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin(2x+x)=\sin 3x.$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\sin 3x=1.$$

   Отсюда

   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2. б) Перенесём всё в одну сторону и применим формулу косинуса суммы:

   $$\cos 3x\cos 5x-\sin 3x\sin 5x=0,$$

   $$\cos(3x+5x)=0,$$

   $$\cos 8x=0.$$

   Тогда

   $$8x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\ k\in \mathbb{Z}.$$