Упр.19.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (корень(2)cos a — 2cos (пи/4 — a)) / (2sin (пи/6 + a) — корень(3)sin a) = -корень(2)tg a;
6) (cos a — 2cos (пи/3 + a)) / (2sin (a — пи/6) — корень(3)sin a) = — корень(3)tg a.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть, используя формулы приведения:

$$ \frac{\sqrt{2}\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a\right)}{2\left(\sin\frac{\pi}{6}\cos a+\cos\frac{\pi}{6}\sin a\right)-\sqrt{3}\sin a} $$

$$ = \frac{\sqrt{2}\cos a-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-\sqrt{2}\cos a-\sqrt{2}\sin a}{\cos a+\sqrt{3}\sin a-\sqrt{3}\sin a} $$

$$ = \frac{-\sqrt{2}\sin a}{\cos a} = -\sqrt{2}\tg a $$

Тождество доказано.

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$ \frac{\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)}{2\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\cos a-2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a\right)}{2\left(\sin a\cos\frac{\pi}{6}-\cos a\sin\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin a} $$

$$ = \frac{\cos a-2\left(\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a-\frac{1}{2}\cos a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\cos a-\cos a+\sqrt{3}\sin a}{\sqrt{3}\sin a-\cos a-\sqrt{3}\sin a} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}\sin a}{-\cos a} = -\sqrt{3}\tg a $$

Тождество доказано.