Упр.18.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) |cos x| = 2cos x — корень(3)sin x;
б) sin x = корень(3)cos x + 2|sin x|.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$\cos x \ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и уравнение принимает вид

$$ \cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x $$

$$ \cos x-\sqrt{3}\sin x=0 $$

$$ \sqrt{3}\sin x=\cos x $$

$$ \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$ -\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x $$

$$ 3\cos x-\sqrt{3}\sin x=0 $$

$$ \sqrt{3}\cos x=\sin x $$

$$ \tan x=\sqrt{3} $$

Следовательно,

$$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\cos x<0$$ получаем

$$ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

б) Аналогично рассмотрим два случая.

1) Если $$\sin x \ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и

$$ \sin x=\sqrt{3}\cos x+2\sin x $$

$$ -\sin x=\sqrt{3}\cos x $$

$$ \tan x=-\sqrt{3} $$

Отсюда

$$ x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем

$$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

2) Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и

$$ \sin x=\sqrt{3}\cos x-2\sin x $$

$$ 3\sin x=\sqrt{3}\cos x $$

$$ \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

Следовательно,

$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\sin x<0$$ получаем

$$ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$