Упр.18.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2 tg^2 2x + 3tg (пи + 2x) = 0;
6) tg^2 3x — 6ctg(пи/2 — 3x) = 0.

а)

$$2\tg^2 2x + 3\tg(\pi + 2x)=0$$

Так как $$\tg(\pi+2x)=\tg 2x,$$ получаем:

$$2\tg^2 2x + 3\tg 2x=0$$

$$\tg 2x\,(2\tg 2x+3)=0$$

Отсюда:

$$\tg 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\tg 2x+3=0$$

1) $$\tg 2x=0$$

$$2x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi n}{2}$$

2) $$2\tg 2x+3=0$$

$$\tg 2x=-\frac{3}{2}$$

$$2x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n$$

$$x=-\frac{1}{2}\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2}$$

б)

$$\tg^2 3x-6\ctg\!\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$

Так как $$\ctg\!\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\tg 3x,$$ имеем:

$$\tg^2 3x-6\tg 3x=0$$

$$\tg 3x\,(\tg 3x-6)=0$$

Отсюда:

$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=6$$

1) $$\tg 3x=0$$

$$3x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi n}{3}$$

2) $$\tg 3x=6$$

$$3x=\arctg 6+\pi n$$

$$x=\frac{1}{3}\arctg 6+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2}$$, $$x=-\frac{1}{2}\arctg\frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi n}{3}$$, $$x=\frac{1}{3}\arctg 6+\frac{\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$