Упр.18.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 2sin^2 (РїРё + x) — 5cos (РїРё/2 + x) + 2 = 0;
Р±) 2cos^2 x + 5cos (РїРё/2 — x) — 4 = 0;
РІ) 2cos^2 x + sin (РїРё/2 — x) — 1 = 0;
Рі) 5 — 5sin 3(РїРё — x) = cos^2 (РїРё — 3x).

1. а)

   $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$
   $$2\sin^2 x+5\sin x+2=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2+5y+2=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}$$
   $$y_1=-2,\quad y_2=-\frac12$$
   Значение $$\sin x=-2$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$.
   Поэтому
   $$\sin x=-\frac12$$
   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. б)

   $$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$
   $$2\cos^2 x+5\sin x-4=0$$
   $$2(1-\sin^2 x)+5\sin x-4=0$$
   $$2\sin^2 x-5\sin x+2=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2-5y+2=0$$
   $$D=25-16=9$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
   $$y_1=\frac12,\quad y_2=2$$
   Значение $$\sin x=2$$ не подходит.
   Поэтому
   $$\sin x=\frac12$$
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. в)

   $$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$
   $$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$2y^2+y-1=0$$
   $$D=1+8=9$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac12$$
   Тогда
   $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$
   $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. г)

   $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$
   $$5-5\sin(3\pi-3x)=\cos^2 3x$$
   $$5-5\sin 3x=1-\sin^2 3x$$
   $$\sin^2 3x-5\sin 3x+4=0$$
   Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда
   $$y^2-5y+4=0$$
   $$D=25-16=9$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
   $$y_1=1,\quad y_2=4$$
   Значение $$\sin 3x=4$$ не подходит.
   Поэтому
   $$\sin 3x=1$$
   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.