Упр.18.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3sin^2 x/2 + sin x/2 * sin (пи/2 — x/2) = 2;
б) 2cos^2 x/2 — 3sin (пи — x/2) * cos (2пи — x/2) + 7sin^2 x/2 = 3;
в) 4cos^2 (пи/2 + х) + корень(3)sin (3пи/2 — х) * sin (пи + х) + 3cos^2 (пи + x) = 3;
г) 3sin^2 (х — 3пи/2) — 2cos (3пи/2 + х) * cos (пи + х) + 2sin^2 (x — пи) = 2.

1. $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}$$

   $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2$$

   $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)=0$$

   $$\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\cos^2\frac{x}{2}=0$$

   Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
   $$\tg^2\frac{x}{2}+\tg\frac{x}{2}-2=0$$

   Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$t^2+t-2=0,$$
   $$t_1=-2,\quad t_2=1.$$

   $$\tg\frac{x}{2}=-2 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg 2+\pi n \Rightarrow x=-2\arctg 2+2\pi n$$

   $$\tg\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

2. $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$

   $$\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2},\qquad \cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}$$

   $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$

   $$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0$$

   Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
   $$4\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}-1=0$$

   Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$4t^2-3t-1=0,$$
   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac14.$$

   $$\tg\frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   $$\tg\frac{x}{2}=-\frac14 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg\frac14+\pi n \Rightarrow x=-2\arctg\frac14+2\pi n$$

3. $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x$$

   $$4\sin^2 x+\sqrt3\cos x\sin x+3\cos^2 x=3$$

   $$4\sin^2 x+\sqrt3\cos x\sin x+3\cos^2 x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\sin^2 x+\sqrt3\cos x\sin x=0$$

   $$\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)=0$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

   или
   $$\sin x+\sqrt3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$

4. $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$

   $$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(x-\pi)=-\sin x$$

   $$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x=2$$

   $$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x+2\sin x)=0$$

   Отсюда:
   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   или
   $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n$$

Ответ

а) $$x=-2\arctg 2+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ -2\arctg\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$