Упр.18.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 С… + cos(РїРё/2 — x) * sin(РїРё/2 — x) — 2cos^2 x = 0;
Р±) sin^2 Р—x + 3cos^2 3x — 4sin(РїРё/2 + 3x) * cos(РїРё/2 + 3x) = 0;
РІ) sin^2 x + 2sin(РїРё — x) * cos x — Р—cos^2 (2РїРё — x) = 0;
Рі) sin^2 (РїРё — Р—x) + 5sin(РїРё — Р—x) * cos Р—x + 4sin^2 (3РїРё/2 — 3x) = 0.

1. а)

   $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$

   $$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$\tg^2 x+\tg x-2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^2+t-2=0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-2$$

   Тогда
   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n$$

2. б)

   $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$

   $$\sin^2 3x+4\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 3x$$:
   $$\tg^2 3x+4\tg 3x+3=0$$

   Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда
   $$t^2+4t+3=0$$
   $$\left(t+1\right)\left(t+3\right)=0$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=-3$$

   Тогда
   $$\tg 3x=-1 \Rightarrow 3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

   $$\tg 3x=-3 \Rightarrow 3x=-\arctg 3+\pi n \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3}$$

3. в)

   $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$

   $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
   $$t^2+2t-3=0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-3$$

   Тогда
   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n$$

4. г)

   $$\sin^2(\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$

   $$\sin^2 3x+5\sin 3x\cos 3x+4\cos^2 3x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 3x$$:
   $$\tg^2 3x+5\tg 3x+4=0$$

   Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда
   $$t^2+5t+4=0$$
   $$\left(t+1\right)\left(t+4\right)=0$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=-4$$

   Тогда
   $$\tg 3x=-1 \Rightarrow 3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

   $$\tg 3x=-4 \Rightarrow 3x=-\arctg 4+\pi n \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$

б) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$

г) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

$$n\in\mathbb{Z}$$