Упр.18.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) |sin x| = |cos x|;
б) корень(3)ctg х = 2|cos х|;
в) |sin 2x| = |корень(3)cos 2x|;
г) корень(2)tg х + 2|sin x| = 0.

1. $$|\sin x|=|\cos x|$$

   Так как $$\cos x \ne 0$$, разделим обе части на $$|\cos x|$$:

   $$\left|\tg x\right|=1$$

   Отсюда

   $$\tg x=\pm 1$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

2. $$\sqrt{3}\ctg x=2|\cos x|$$

   $$\sqrt{3}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=2|\cos x|$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$\cos x=0$$, то получаем

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   2) Если $$\cos x\ne 0$$, то можно разделить на $$|\cos x|$$:

   $$\sqrt{3}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=2|\cos x| \;\Rightarrow\; \sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sin x}=2\cdot \frac{|\cos x|}{\cos x}$$

   Удобнее перейти к знакам по случаям.

   Если $$\cos x>0$$, то

   $$\sqrt{3}\cos x=2\sin x\cos x$$

   $$\cos x(\sqrt{3}-2\sin x)=0$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   Если $$\cos x<0$$, то

   $$\sqrt{3}\cos x=-2\sin x\cos x$$

   $$\cos x(\sqrt{3}+2\sin x)=0$$

   $$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   Оба этих семейства можно записать как

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

3. $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$

   $$\left|\tg 2x\right|=\sqrt{3}$$

   $$\tg 2x=\pm \sqrt{3}$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z$$

4. $$\sqrt{2}\tg x+2|\sin x|=0$$

   $$\sqrt{2}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+2|\sin x|=0$$

   $$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\cdot |\sin x|=0$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$\sin x=0$$, то

   $$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   2) Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$:

   $$\sqrt{2}\sin x-2\cos x\sin x=0$$

   $$\sin x(\sqrt{2}-2\cos x)=0$$

   $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

   3) Если $$\sin x>0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$:

   $$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\sin x=0$$

   $$\sin x(\sqrt{2}+2\cos x)=0$$

   $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$;
в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z$$;
г) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z$$ или $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$ или $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$.