Упр.18.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (корень(2)cos x — 1) * корень(4×2 — 7x + 3) = 0;
6) (2sin x — корень(3)) * корень(3х2 — 7x + 4) = 0.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$4x^2-7x+3\ge 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$4x^2-7x+3=0,$$

$$D=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8},\quad x_1=\frac34,\quad x_2=1.$$

Тогда

$$4x^2-7x+3\ge 0 \iff x\le \frac34 \ \text{или}\ x\ge 1.$$

Теперь решим первый множитель:

$$\sqrt{2}\cos x-1=0,$$

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

С учётом области определения получаем:

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0.$$

Область определения:

$$3x^2-7x+4\ge 0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$3x^2-7x+4=0,$$

$$D=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6},\quad x_1=1,\quad x_2=\frac43.$$

Тогда

$$3x^2-7x+4\ge 0 \iff x\le 1 \ \text{или}\ x\ge \frac43.$$

Решим первый множитель:

$$2\sin x-\sqrt{3}=0,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

С учётом области определения получаем:

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$