Упр.18.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 3sin^2 2x — 2 = sin 2x * cos 2x;
6) 2sin^2 4x — 4 = 3sin 4x * cos 4x — 4cos^2 4x.
$$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cos 2x$$
$$3\sin^2 2x-2(\sin^2 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x\cos 2x=0$$
$$\sin^2 2x-\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x=0$$
Разделим на $$\cos^2 2x$$:
$$\tg^2 2x-\tg 2x-2=0$$
Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда
$$t^2-t-2=0$$
$$(t-2)(t+1)=0$$
$$t=2 \text{ или } t=-1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\tg 2x=2 \Rightarrow 2x=\arctg 2+\pi k \Rightarrow x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2}$$
$$\tg 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi k \Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}$$
$$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cos 4x-4\cos^2 4x$$
$$2\sin^2 4x-4(\sin^2 4x+\cos^2 4x)-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x=0$$
$$-2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x=0$$
$$-\sin 4x\,(2\sin 4x+3\cos 4x)=0$$
Отсюда:
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 4x+3\cos 4x=0$$
$$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi k}{4}$$
$$2\sin 4x+3\cos 4x=0 \Rightarrow 2\tg 4x+3=0 \Rightarrow \tg 4x=-\frac32$$
$$4x=-\arctg \frac32+\pi k \Rightarrow x=-\frac14\arctg \frac32+\frac{\pi k}{4}$$
Ответ
а) $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z$$
б) $$x=-\frac14\arctg \frac32+\frac{\pi k}{4},\; x=\frac{\pi k}{4},\; k\in\mathbb Z$$
