Упр.18.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 2x = cos2x;
б) корень(3)sin Зх = cos Зх;
в) sin x/2 = корень(3)cos x2;
г) корень(2)sin 17x = корень(б)cos 17x.

1. $$\sin 2x=\cos 2x$$
   
   Делим обе части на $$\cos 2x$$:
   $$\tg 2x=1$$
   Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
2. $$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$
   
   Делим обе части на $$\cos 3x$$:
   $$\sqrt{3}\tg 3x=1$$
   $$\tg 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
   Тогда
   $$3x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}$$
3. $$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$$
   
   Делим обе части на $$\cos \frac{x}{2}$$:
   $$\tg \frac{x}{2}=\sqrt{3}$$
   Тогда
   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
4. $$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$
   
   Делим обе части на $$\cos 17x$$:
   $$\sqrt{2}\tg 17x=\sqrt{6}$$
   $$\tg 17x=\sqrt{3}$$
   Тогда
   $$17x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
   $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$
б) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}$$
в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
г) $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\ n\in \mathbb{Z}$$