Упр.18.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) 2cos^2 x/2 + корень(3)cos x/2 = 0;
6) 4cos^2 (x — РїРё/6) — 3 = 0;
РІ) корень(3)tg^2 3x — 3tg 3x = 0;
Рі) 4sin^2 (2x + РїРё/3) — 1 = 0.
$$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$$
1) $$\cos\frac{x}{2}=0$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\pi+2\pi k$$
2) $$2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$$
$$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k$$
$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$
$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Тогда:
$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k$$
1) $$x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$
2) $$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad x=\pi k$$
$$\sqrt{3}\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\tg 3x\left(\sqrt{3}\tg 3x-3\right)=0$$
Отсюда:
$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=\sqrt{3}$$
1) $$\tg 3x=0$$
$$3x=\pi k,\quad x=\frac{\pi k}{3}$$
2) $$\tg 3x=\sqrt{3}$$
$$3x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}$$
$$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$
$$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{4}$$
$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\pm\frac{1}{2}$$
Тогда:
$$2x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k$$
1) $$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad 2x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$$
2) $$2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad 2x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$
Ответ
а) $$x=\pi+2\pi k,\ \pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
б) $$x=\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
в) $$x=\frac{\pi k}{3},\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}$$
г) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\ -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$$
