Упр.18.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 3x/2 — корень(2)/2 = sin х — cos^2 3x/2 + 1;
б) cos^2 2х — 1 — cos х = корень(3)/2 — sin^2 2x.

а) Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

$$ \sin^2 \frac{3x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x-\cos^2 \frac{3x}{4}+1 $$

Перенесём слагаемые с тригонометрическими квадратами в одну часть:

$$ \sin^2 \frac{3x}{4}+\cos^2 \frac{3x}{4}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x $$

$$ 1-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x $$

$$ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Тогда

$$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

б) Аналогично, используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

$$ \cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin^2 2x $$

Перенесём слагаемые:

$$ \cos^2 2x+\sin^2 2x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos x $$

$$ 1-1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos x $$

$$ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Следовательно,

$$ x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

б) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$