Упр.18.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие отрезку [-пи/2; 3пи/2];
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу (-пи; пи/2).

Преобразуем уравнение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12$$

Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ то

$$\frac{\pi}{3}-2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\frac{\pi}{3}-2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$-2x=2\pi n,\qquad x=\pi n.$$

2) $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$-2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Общее решение:

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

а) Наименьший положительный корень: $$x=\frac{\pi}{3}.$$

б) Корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

$$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}.$$

в) Наибольший отрицательный корень: $$x=-\frac{2\pi}{3}.$$

г) Корни на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}$$; в) $$-\frac{2\pi}{3}$$; г) $$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}$$.