Упр.18.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 x + sin x * cos x = 0;
6) корень(3)sin x * cos x + cos^2 x = 0;
РІ) sin^2 x = 3sin x * cos x;
г) корень(3)cos^2 x = sin x * cos x.

1. а)

   $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$
   $$\sin x(\sin x+\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$

   Если $$\sin x=0,$$ то
   $$x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sin x+\cos x=0,$$ то
   $$\tg x=-1,$$
   значит
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

   Если $$\cos x=0,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0,$$ то
   $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$
   значит
   $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$
   $$\sin x(\sin x-3\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0$$

   Если $$\sin x=0,$$ то
   $$x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sin x-3\cos x=0,$$ то
   $$\tg x=3,$$
   значит
   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$\sqrt{3}\cos^2 x=\sin x\cos x$$
   $$\cos x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$

   Если $$\cos x=0,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0,$$ то
   $$\tg x=\sqrt{3},$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$