Упр.16.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) cos (arcsin (-5/13));
б) tg (arcsin 0,6);
в) cos (arcsin 8/17);
г) ctg (arcsin (-0,8)).

1. Пусть $$\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)=\varphi.$$ Тогда $$\sin\varphi=-\frac{5}{13}.$$

   Так как $$\varphi \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\cos\varphi>0.$$ Следовательно,

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi} =\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}. $$

2. Пусть $$\arcsin(0{,}6)=\varphi.$$ Тогда $$\sin\varphi=0{,}6.$$

   Найдём косинус:

   $$ \cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi} =\sqrt{1-0{,}6^2} =\sqrt{1-0{,}36} =\sqrt{0{,}64} =0{,}8. $$

   Тогда

   $$ \tg\left(\arcsin 0{,}6\right)=\tg\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} =\frac{0{,}6}{0{,}8} =\frac{3}{4}. $$

3. Пусть $$\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)=\varphi.$$ Тогда $$\sin\varphi=\frac{8}{17}.$$

   Так как $$\varphi \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\cos\varphi>0.$$ Следовательно,

   $$ \cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)=\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi} =\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{64}{289}} =\sqrt{\frac{225}{289}} =\frac{15}{17}. $$

4. Пусть $$\arcsin(-0{,}8)=\varphi.$$ Тогда $$\sin\varphi=-0{,}8.$$

   Найдём косинус:

   $$ \cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi} =\sqrt{1-(-0{,}8)^2} =\sqrt{1-0{,}64} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6. $$

   Тогда

   $$ \ctg\left(\arcsin(-0{,}8)\right)=\ctg\varphi=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} =\frac{0{,}6}{-0{,}8} =-\frac{3}{4}. $$

Ответ

а) $$\frac{12}{13}$$; б) $$\frac{3}{4}$$; в) $$\frac{15}{17}$$; г) $$-\frac{3}{4}$$.