Упр.16.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 6cos^2 t + sin t > 4;
6) 6cos^2 t + sin t < = 4.

а) $$6\cos^2 t+\sin t>4$$

Используем формулу $$\cos^2 t=1-\sin^2 t$$:

$$ 6(1-\sin^2 t)+\sin t>4 $$
$$ -6\sin^2 t+\sin t+2>0 $$
$$ 6\sin^2 t-\sin t-2<0 $$

Положим $$y=\sin t$$. Тогда получаем:

$$ 6y^2-y-2<0 $$
$$ D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-2)=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{12} $$
$$ y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac23 $$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$ -\frac12<y<\frac23 $$

Возвращаясь к переменной $$t$$, получаем систему:

$$ -\frac12<\sin t<\frac23 $$

Отсюда:

$$ \sin t>-\frac12 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi k $$
$$ \sin t<\frac23 \quad \Rightarrow \quad \arcsin\frac23+2\pi k<t<\pi-\arcsin\frac23+2\pi k $$

Пересечение этих промежутков даёт:

$$ -\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\arcsin\frac23+2\pi k $$
$$ \pi-\arcsin\frac23+2\pi k<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi k $$

б) $$6\cos^2 t+\sin t\le 4$$

Аналогично преобразуем неравенство:

$$ 6(1-\sin^2 t)+\sin t\le 4 $$
$$ -6\sin^2 t+\sin t+2\le 0 $$
$$ 6\sin^2 t-\sin t-2\ge 0 $$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда:

$$ 6y^2-y-2\ge 0 $$
$$ (y+\tfrac12)\left(y-\tfrac23\right)\ge 0 $$

Следовательно,

$$ y\le -\frac12 \quad \text{или} \quad y\ge \frac23 $$

То есть:

$$ \sin t\le -\frac12 \quad \text{или} \quad \sin t\ge \frac23 $$

Отсюда получаем:

$$ \frac{7\pi}{6}+2\pi k\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi k $$
$$ \arcsin\frac23+2\pi k\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi k $$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\arcsin\frac23+2\pi k,\quad \pi-\arcsin\frac23+2\pi k<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$\arcsin\frac23+2\pi k\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi k,\quad \frac{7\pi}{6}+2\pi k\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$