Упр.16.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 5sin^2 t > llsin t + 12;
6) 5sin^2 t < = llsin t + 12.

а) $$5\sin^2 t>11\sin t+12$$

Положим $$y=\sin t$$. Тогда получаем квадратное неравенство:

$$5y^2-11y-12>0$$

Найдём корни уравнения $$5y^2-11y-12=0$$:

$$D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot(-12)=121+240=361$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 19}{10}$$

$$y_1=-\frac45,\qquad y_2=3$$

Тогда

$$5(y+\tfrac45)(y-3)>0$$

Так как $$\sin t\in[-1;1]$$, значение $$\sin t>3$$ невозможно. Остаётся:

$$\sin t<-\frac45$$

Отсюда

$$\pi+\arcsin\frac45+2\pi k<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$

б) $$5\sin^2 t\le 11\sin t+12$$

Положим $$y=\sin t$$. Тогда:

$$5y^2-11y-12\le 0$$

Корни те же:

$$y_1=-\frac45,\qquad y_2=3$$

Следовательно,

$$-\frac45\le y\le 3$$

С учётом $$\sin t\in[-1;1]$$ получаем:

$$\sin t\ge -\frac45$$

Значит,

$$-\arcsin\frac45+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$\pi+\arcsin\frac45+2\pi k<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$-\arcsin\frac45+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$