Упр.15.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 4cos^2 t < 1; 6) 3cos^2 t < cos t; РІ) 9cos^2 t > 1;
Рі) 3cos^2 t > cos t.

1. $$4\cos^2 t<1$$
   
   Пусть $$y=\cos t$$. Тогда
   $$4y^2<1$$
   $$4y^2-1<0$$
   $$(2y-1)(2y+1)<0$$
   $$-\frac12<y<\frac12$$
   Значит,
   $$-\frac12<\cos t<\frac12.$$
   Отсюда
   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$3\cos^2 t<\cos t$$
   
   Пусть $$y=\cos t$$. Тогда
   $$3y^2-y<0$$
   $$y(3y-1)<0$$
   $$0<y<\frac13.$$
   Значит,
   $$0<\cos t<\frac13.$$
   Отсюда
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<-\arccos\frac13+2\pi n$$
   или
   $$\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$9\cos^2 t>1$$
   
   Пусть $$y=\cos t$$. Тогда
   $$9y^2-1>0$$
   $$(3y-1)(3y+1)>0$$
   $$y<-\frac13 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$
   Значит,
   $$\cos t<-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$
   Отсюда
   $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n$$
   или
   $$\pi-\arccos\frac13+2\pi n<t<\pi+\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$3\cos^2 t>\cos t$$
   
   Пусть $$y=\cos t$$. Тогда
   $$3y^2-y>0$$
   $$y(3y-1)>0$$
   $$y<0 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$
   Значит,
   $$\cos t<0 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$
   Отсюда
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   или
   $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<-\arccos\frac13+2\pi n$$ или $$\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n$$ или $$\pi-\arccos\frac13+2\pi n<t<\pi+\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ или $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$