Упр.15.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) cos х = 1/2, x принадлежит (1; 6);
б) cos x = -1/2, x принадлежит (2; 10);
в) cos х = корень(2)/2, x принадлежит (-пи/4; 12);
г) cos х = -корень(2)/2, x принадлежит (-4; 5пи/4).
$$\cos x=\frac12,\quad x\in(1;6)$$
Общее решение уравнения:
$$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$\left(1;6\right)$$ подходят значения:
$$x=\frac{\pi}{3},\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}.$$
$$\cos x=-\frac12,\quad x\in(2;10)$$
Общее решение уравнения:
$$x=\pm\left(\pi-\arccos \frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$\left(2;10\right)$$ получаем:
$$x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3},\quad x=\frac{8\pi}{3}.$$
$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4};12\right)$$
Общее решение уравнения:
$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На данном промежутке подходят:
$$x=\frac{\pi}{4},\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4},\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4},\quad x=-\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{15\pi}{4}.$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$
Общее решение уравнения:
$$x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$ получаем:
$$x=-\frac{5\pi}{4},\quad x=-\frac{3\pi}{4},\quad x=\frac{3\pi}{4}.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$; б) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$; в) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{15\pi}{4}$$; г) $$-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}$$.
