Упр.15.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 3cos^2 t — 4cos t > = 4;
6) 6cos^2 t + 1 > 5cos t;
в) 3cos^2 t — 4cos t < 4;
г) 6cos^2 t + 1 < = 5cos t.
а) Пусть $$y=\cos t.$$ Тогда
$$3y^2-4y-4\ge 0.$$
Найдём корни:
$$ D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64, $$
$$ y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6},\quad y_1=-\frac23,\quad y_2=2. $$Тогда
$$\left(y+\frac23\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда
$$y\le -\frac23 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Так как $$\cos t\le 1,$$ то условие $$\cos t\ge 2$$ решений не имеет. Остаётся
$$\cos t\le -\frac23.$$
Следовательно,
$$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$y=\cos t.$$ Тогда
$$6y^2-5y+1>0.$$
Найдём корни:
$$ D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1, $$
$$ y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12},\quad y_1=\frac13,\quad y_2=\frac12. $$Тогда
$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)>0,$$
откуда
$$y<\frac13 \quad \text{или} \quad y>\frac12.$$
Возвращаясь к переменной $$t$$, получаем
$$\cos t<\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac12.$$
Значит,
$$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$y=\cos t.$$ Тогда
$$3y^2-4y-4<0.$$
Корни те же:
$$y_1=-\frac23,\quad y_2=2.$$
Следовательно,
$$-\frac23<y<2.$$
Так как $$\cos t\le 1,$$ условие $$\cos t<2$$ выполняется всегда. Поэтому остаётся
$$\cos t>-\frac23.$$
Отсюда
$$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$y=\cos t.$$ Тогда
$$6y^2-5y+1\le 0.$$
Корни:
$$y_1=\frac13,\quad y_2=\frac12.$$
Следовательно,
$$\frac13\le y\le \frac12,$$
то есть
$$\frac13\le \cos t\le \frac12.$$
Тогда
$$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
