Упр.14.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [пи/4; пи/2];
б) на полуинтервале [пи/2; пи);
в) на интервале (-пи; 0);
г) на отрезке [пи/6; 3пи/4].

Функция $$y=\operatorname{ctg}x$$ на каждом промежутке между точками разрыва $$x=\pi k$$, $$k\in\mathbb Z,$$ убывает.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция непрерывна, значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=1,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0.$$

   Следовательно, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=0.$$

2. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ функция убывает, при этом в точке $$x=\pi$$ имеет разрыв, поэтому наименьшее значение не достигается:

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0.$$

   Значит, $$y_{\max}=0,$$ а наименьшего значения нет.

3. На интервале $$(-\pi;0)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=-\pi$$ и $$x=0,$$ поэтому она не ограничена ни сверху, ни снизу. Наибольшего и наименьшего значений нет.

4. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция непрерывна на каждом из промежутков, а на всём отрезке убывает между точками разрыва. Проверим значения на концах:

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1.$$

   Следовательно, $$y_{\max}=\sqrt{3},$$ $$y_{\min}=-1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1$$;

б) $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}=0$$;

в) $$y_{\min}$$ — не существует, $$y_{\max}$$ — не существует;

г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}$$.