Упр.13.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [-пи/2; 0];
б) на интервале (-пи/4; пи/2);
в) на отрезке [-пи/4; пи/4];
г) на полуинтервале (0; пи].

Рассмотрим функцию $$y=\sin 2x.$$

1. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ имеем $$2x\in[-\pi;0].$$

   На этом промежутке функция $$\sin t$$ убывает на $$[-\pi;-\frac{\pi}{2}]$$ и возрастает на $$[-\frac{\pi}{2};0].$$

   Проверим значения в концах и в точке, где аргумент равен $$-\frac{\pi}{2}$$:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(-\pi)=0,$$
   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
   $$y(0)=\sin 0=0.$$

   Значит, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=0.$$

2. На интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$2x\in\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

   Значение $$-1$$ достигается при $$2x=-\frac{\pi}{2}$$, то есть при $$x=-\frac{\pi}{4},$$ но эта точка не входит в интервал. Значение $$1$$ достигается при $$2x=\frac{\pi}{2},$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно, наименьшего значения нет, а наибольшее значение равно $$1.$$

3. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ имеем $$2x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

   Тогда

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

   Значит, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$\left(0;\pi\right]$$ имеем $$2x\in(0;2\pi].$$

   На этом промежутке функция $$\sin t$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1,$$ причём $$-1$$ достигается при $$t=\frac{3\pi}{2}$$, а $$1$$ — при $$t=\frac{\pi}{2}.$$ Оба значения входят в промежуток $$\left(0;2\pi\right].$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=0$$;

б) наименьшего значения нет, $$y_{\max}=1$$;

в) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1$$;

г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1$$.