Упр.13.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 3sin(х + пи/2);
б) у = cos 1/2 (x + пи/3).

а) Для функции $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ амплитуда равна $$3$$, период не изменяется и равен $$2\pi$$. График синуса сдвинут влево на $$\frac{\pi}{2}$$.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$x+\frac{\pi}{2}=\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Возьмём две соседние точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$x_0=-\frac{\pi}{2},\qquad x_1=\frac{\pi}{2}$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$y=3\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=3$$

Значит, на промежутке между нулями график проходит через точку $$\left(0,3\right)$$. По этим опорным точкам строим синусоиду.

б) Для функции $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ амплитуда равна $$1$$, а период:

$$T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi$$

График косинуса сдвинут влево на $$\frac{\pi}{3}$$.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi n$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Для соседних нулей можно взять:

$$x_0=-\frac{4\pi}{3},\qquad x_1=\frac{2\pi}{3}$$

Середина дуги:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{3}$$

$$y=\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 0=1$$

Значит, график проходит через точку $$\left(-\frac{\pi}{3},1\right)$$. По опорным точкам строим косинусоиду.

Ответ

График функции $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ — синусоида с амплитудой $$3$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{2}$$; график функции $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ — косинусоида с амплитудой $$1$$, периодом $$4\pi$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{3}$$.