Упр.11.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) f(x) =
система
x + 1, если x < 0, cos x, если x > = 0;
б) f(x) =
система
cos x, если x < = пи/2, sin x, если x > пи/2;

Подробный ответ

а) $$f(x)=\begin{cases}x+1,& x<0,\\ \cos x,& x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ строим прямую $$y=x+1$$. Она проходит через точки $$(-1;0)$$ и $$ (0;1)$$, но точка $$ (0;1)$$ не входит в график этой части.
При $$x\ge 0$$ строим график $$y=\cos x$$, начиная с точки $$ (0;1)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;1].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],\ n\ge 0,$$ и убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\ge 0.$$
Функция ограничена сверху: $$y_{\max}=1.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, не является периодической, непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$
б) $$f(x)=\begin{cases}\cos x,& x\le \dfrac{\pi}{2},\\ \sin x,& x>\dfrac{\pi}{2}.\end{cases}$$
При $$x\le \dfrac{\pi}{2}$$ строим график $$y=\cos x$$, при $$x>\dfrac{\pi}{2}$$ — график $$y=\sin x$$.
В точке разрыва:
$$\cos \dfrac{\pi}{2}=0,\qquad \sin \dfrac{\pi}{2}=1.$$
Значит, в точке $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ на графике есть скачок.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=[-1;1].$$
Функция возрастает на $$[-\pi-2\pi n;\,-2\pi n]\cup\left[\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{5\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\ge 0,$$
убывает на $$[-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n]\cup\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\ge 0.$$
Функция ограничена снизу и сверху: $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, не является периодической, непрерывна на $$(-\infty;\dfrac{\pi}{2})\cup\left(\dfrac{\pi}{2};+\infty\right).$$