Упр.11.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Дано: f(x) = 2х2 — Зх — 2. Докажите, что
-f(cos х) = 2sin^2(x) + 3cos x.
б) Дано: f(x) = 5×2 + x + 4. Докажите, что
f(cos x) = 9 + cos x — 5sin^2(x).

а) Пусть $$f(x)=2x^2-3x-2.$$ Тогда

$$ -f(\cos x)=-(2\cos^2 x-3\cos x-2) $$

$$ =-2\cos^2 x+3\cos x+2 $$

Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x,$$ получаем

$$ -2\cos^2 x+2=2(1-\cos^2 x)=2\sin^2 x. $$

Следовательно,

$$ -f(\cos x)=2\sin^2 x+3\cos x. $$

б) Пусть $$f(x)=5x^2+x+4.$$ Тогда

$$ f(\cos x)=5\cos^2 x+\cos x+4 $$

$$ =5(1-\sin^2 x)+\cos x+4 $$

$$ =9+\cos x-5\sin^2 x. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$-f(\cos x)=2\sin^2 x+3\cos x.$$
б) $$f(\cos x)=9+\cos x-5\sin^2 x.$$