Упр.11.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos x > = 1 + |x|;
б) 2cos x < = 2 + x4.

а) Рассмотрим неравенство $$\cos x \ge 1+|x|.$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ а также $$|x| \ge 0,$$ то

$$1+|x| \ge 1.$$

Чтобы выполнялось неравенство $$\cos x \ge 1+|x|,$$ левая часть должна быть не меньше правой. Но $$\cos x \le 1,$$ значит возможно только при

$$\cos x = 1 \quad \text{и} \quad 1+|x|=1.$$

Из $$1+|x|=1$$ получаем

$$|x|=0,$$

откуда

$$x=0.$$

Проверка: $$\cos 0=1,$$ $$1+|0|=1,$$ неравенство верно.

б) Рассмотрим неравенство $$2\cos x \le 2+x^4.$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$-2 \le 2\cos x \le 2.$$

Кроме того, $$x^4 \ge 0,$$ значит

$$2+x^4 \ge 2.$$

Следовательно, левая часть не превосходит правую при любом $$x$$, то есть неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ

а) $$x=0$$;

б) $$x \in (-\infty;+\infty).$$