Упр.10.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) [пи/4 ; 3пи/4];
б) (3пи/4 ; 9пи/4);
в) [0; пи);
г) [пи/4 ; + бесконечность).

1. Рассмотрим функцию $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5.$$

   Так как $$-1\le \sin t \le 1,$$ то

   $$-0{,}5\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5\le 1{,}5.$$

2. а) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ пробегает от $$0$$ до $$\frac{\pi}{2}.$$

   На этом промежутке функция $$\sin t$$ возрастает, значит, $$y$$ тоже возрастает.

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin 0+0{,}5=0{,}5,$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+0{,}5=1{,}5.$$

3. б) На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ пробегает значения от $$\frac{\pi}{2}$$ до $$2\pi.$$

   Здесь функция достигает минимума при $$x=\frac{7\pi}{4}:$$

   $$y\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{2}+0{,}5=-1+0{,}5=-0{,}5.$$

   Максимум $$1{,}5$$ не достигается, так как точка $$x=\frac{3\pi}{4}$$ не входит в промежуток.

4. в) На промежутке $$[0;\pi)$$ имеем:

   $$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac12=\frac{1-\sqrt2}{2},$$
   $$y(\pi)=\sin\frac{3\pi}{4}+0{,}5=\frac{\sqrt2}{2}+\frac12=\frac{1+\sqrt2}{2}.$$

   Но точка $$\pi$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=\frac{3\pi}{4}:$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=1{,}5.$$

5. г) На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция принимает все значения от $$-0{,}5$$ до $$1{,}5,$$ и оба эти значения достигаются.

Ответ

а) $$y_{\min}=0{,}5,$$ $$y_{\max}=1{,}5$$;
б) $$y_{\min}=-0{,}5,$$ наибольшего значения нет;
в) $$y_{\min}=\frac{1-\sqrt2}{2},$$ $$y_{\max}=1{,}5$$;
г) $$y_{\min}=-0{,}5,$$ $$y_{\max}=1{,}5$$.