Упр.10.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [пи/4 ; 2пи/3];
б) на луче [пи/4 ; + бесконечность);
в) на интервале (-3пи/2 ; 3пи/4);
г) на полуинтервале (-пи ; пи/3].

1. а) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right]$$.

   Тогда

   $$y_{\max}=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

   а на концах отрезка

   $$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. б) На луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$y=\sin x$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$.

   Значит,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

3. в) На интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$ содержатся точки, в которых $$\sin x=-1$$ и $$\sin x=1$$, а именно $$x=-\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   Поэтому

   $$y_{\min}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad y_{\max}=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

4. г) На полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ убывает на $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right].$$

   Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}$$:

   $$y_{\min}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

   Максимум достигается при $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$y_{\max}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}$$.