Упр.10.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

система
-х2, если x < 0, sin x, если 0 < = х < = пи, -(x - пи)^2, если х > пи.
а) Вычислите: f(-3), f(пи/2), f(2пи — 3);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(x).

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=-(-3)^2=-9; $$
$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1; $$
$$ f(2\pi-3)=-\bigl((2\pi-3)-\pi\bigr)^2=-(\pi-3)^2. $$

б) Построим график по частям:

при $$x<0$$ — ветвь параболы $$y=-x^2$$;
при $$0\le x\le \pi$$ — график функции $$y=\sin x$$;
при $$x>\pi$$ — ветвь параболы $$y=-(x-\pi)^2$$.

Ключевые точки для построения:

$$ (-2,-4),\;(-1,-1),\;(0,0),\;\left(\frac{\pi}{2},1\right),\;(\pi,0),\;\left(\frac{4\pi}{3},-1\right),\;\left(\frac{3\pi}{2},-\frac{1}{4}\pi^2\right). $$

в) По графику получаем свойства функции:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=(-\infty;1]; $$
возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}]$$;
убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty)$$;
$$ f(x)>0 \text{ на } (0;\pi), \qquad f(x)<0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(\pi;+\infty); $$
ограничена сверху;
наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=\frac{\pi}{2}$$;
ни чётная, ни нечётная;
не является периодической;
непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.