Упр.10.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
система
1/x, если х < 0,
sin х, если 0 < = х < = пи.
а) Вычислите: f(-2), f(0), f(1);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции у = f(х).
Функция задана так:
$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}, \qquad f(0)=\sin 0=0, \qquad f(1)=\sin 1. $$
б) График функции состоит из двух частей:
- при $$x<0$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{1}{x}$$;
- при $$0\le x\le \pi$$ — график функции $$y=\sin x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$.
Для построения можно отметить характерные точки:
для $$y=\sin x$$: $$\left(0,0\right), \left(\dfrac{\pi}{2},1\right), \left(\pi,0\right)$$;
для $$y=\dfrac{1}{x}$$: $$(-2,-\dfrac12),\,(-1,-1),\,\left(-\dfrac12,-2\right).$$
в) По графику получаем:
- $$D(f)=(-\infty;\pi]$$;
- $$E(f)=(-\infty;1]$$;
- функция возрастает на $$\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
- функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$;
- $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right)$$;
- $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
- функция ограничена сверху, $$\max f(x)=1$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}$$;
- минимального значения нет;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- не является периодической;
- имеет разрыв в точке $$x=0$$.
Ответ
а) $$f(-2)=-\dfrac12,\; f(0)=0,\; f(1)=\sin 1.$$
б) График состоит из ветви $$y=\dfrac1x$$ при $$x<0$$ и дуги $$y=\sin x$$ при $$0\le x\le \pi$$.
в) $$D(f)=(-\infty;\pi],\; E(f)=(-\infty;1],\; \max f(x)=1.$$
