Упр.10.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) f(x) = x5 * sin(x/2);
б) f(x) = sin^2(x) / (х2 — 1);
в) f(x) = 2sin(x/2) / x3;
г) f(x) = sin^2(x) — x4.

Чтобы доказать, что функция чётная, нужно проверить равенство $$f(-x)=f(x).$$ При этом область определения должна быть симметрична относительно нуля.

а) $$f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}.$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Она симметрична относительно нуля.

Проверим:

$$ f(-x)=(-x)^5\sin\frac{-x}{2}=-x^5\cdot\left(-\sin\frac{x}{2}\right)=x^5\sin\frac{x}{2}=f(x). $$

Значит, функция чётная.

б) $$f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}.$$

Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$ Она симметрична относительно нуля.

Проверим:

$$ f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1} =\frac{(-\sin x)^2}{x^2-1} =\frac{\sin^2 x}{x^2-1} =f(x). $$

Значит, функция чётная.

в) $$f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$ Она симметрична относительно нуля.

Проверим:

$$ f(-x)=\frac{2\sin\frac{-x}{2}}{(-x)^3} =\frac{2\left(-\sin\frac{x}{2}\right)}{-x^3} =\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3} =f(x). $$

Значит, функция чётная.

г) $$f(x)=\sin^2 x-x^4.$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Она симметрична относительно нуля.

Проверим:

$$ f(-x)=\sin^2(-x)-(-x)^4 =(-\sin x)^2-x^4 =\sin^2 x-x^4 =f(x). $$

Значит, функция чётная.

Ответ

Во всех пунктах функции чётные.