Упр.1.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = 1/(16×2-49);
б) у = корень(х2 + 4х + 3);
В) y = 1/(9-25×2);
г) у = корень(3х — х2 + 18).

Подробный ответ

а) $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$
Для области определения знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$16x^2-49\ne 0$$
$$16x^2\ne 49$$
$$x\ne \pm \frac{7}{4}$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;-\tfrac74)\cup(-\tfrac74;\tfrac74)\cup(\tfrac74;+\infty).$$
Найдём область значений. При $$|x|<\frac74$$ знаменатель отрицателен, поэтому $$y<0$$. Наибольшее значение на этом промежутке достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=\frac{1}{-49}=-\frac{1}{49}.$$
При $$|x|>\frac74$$ знаменатель положителен, значит $$y>0$$. К нулю функция лишь стремится, но не принимает его.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;-\tfrac{1}{49}]\cup(0;+\infty).$$
б) $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$x^2+4x+3\ge 0$$
$$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge -1.$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty).$$
Так как корень квадратный неотрицателен, то
$$y\ge 0.$$
Минимальное значение равно $$0$$, а сверху функция не ограничена.
Следовательно,
$$E(y)=[0;+\infty).$$
в) $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$9-25x^2\ne 0$$
$$25x^2\ne 9$$
$$x\ne \pm \frac35$$
Поэтому
$$D(y)=(-\infty;-\tfrac35)\cup(-\tfrac35;\tfrac35)\cup(\tfrac35;+\infty).$$
При $$|x|<\frac35$$ знаменатель положителен, значит $$y>0$$, а при $$|x|>\frac35$$ знаменатель отрицателен, значит $$y<0$$. Значение $$0$$ функция не принимает.
При $$x=0$$ получаем
$$y(0)=\frac19.$$
Это наименьшее положительное значение функции.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;0)\cup[\tfrac19;+\infty).$$
г) $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$
Требуем неотрицательность подкоренного выражения:
$$3x-x^2+18\ge 0$$
$$x^2-3x-18\le 0$$
$$\left(x+3\right)\left(x-6\right)\le 0$$
Отсюда
$$-3\le x\le 6.$$
Значит,
$$D(y)=[-3;6].$$
Так как $$y\ge 0$$, то наименьшее значение функции равно $$0$$.
Найдём наибольшее значение. Подкоренное выражение — парабола, ветви вниз, её вершина при
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac32.$$
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{3\cdot \frac32-\left(\frac32\right)^2+18}=\sqrt{20.25}=4.5.$$
Следовательно,
$$E(y)=[0;4.5].$$