Упр.9.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{\cos(180+a)\ast\cos(-a)}{\sin(-a)\ast\sin(90+a)}$$

а) $$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cdot \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\cdot \sin(90^\circ+\alpha)}$$

Используем формулы приведения:

$$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha.$$

Тогда

$$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cdot \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\cdot \sin(90^\circ+\alpha)}=\frac{-\cos\alpha\cdot \cos\alpha}{-\sin\alpha\cdot \cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\operatorname{ctg}\alpha.$$

Ответ: $$\operatorname{ctg}\alpha$$

б) $$\frac{\sin(\pi-t)\cdot \cos(2\pi-t)}{\operatorname{tg}(\pi-t)\cdot \cos(\pi-t)}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi-t)=\sin t,\qquad \cos(2\pi-t)=\cos t,$$

$$\operatorname{tg}(\pi-t)=-\operatorname{tg}t,\qquad \cos(\pi-t)=-\cos t.$$

Тогда

$$\frac{\sin(\pi-t)\cdot \cos(2\pi-t)}{\operatorname{tg}(\pi-t)\cdot \cos(\pi-t)}=\frac{\sin t\cdot \cos t}{-\operatorname{tg}t\cdot(-\cos t)}=\frac{\sin t\cdot \cos t}{\operatorname{tg}t\cdot \cos t}=\frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}=\cos t.$$

Ответ: $$\cos t$$

в) $$\frac{\sin(-\alpha)\cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\cdot \operatorname{tg}(180^\circ+\alpha)}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \operatorname{ctg}(-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha,$$

$$\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \operatorname{tg}(180^\circ+\alpha)=\operatorname{tg}\alpha.$$

Тогда

$$\frac{\sin(-\alpha)\cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\cdot \operatorname{tg}(180^\circ+\alpha)}=\frac{(-\sin\alpha)\cdot(-\operatorname{ctg}\alpha)}{\cos\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha}{\cos\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha}.$$

Так как $$\sin\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha=\cos\alpha,$$ получаем

$$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\operatorname{ctg}\alpha.$$

Ответ: $$\operatorname{ctg}\alpha$$

г) $$\frac{\sin(\pi+t)\cdot \sin(2\pi+t)}{\operatorname{tg}(\pi+t)\cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi+t)=-\sin t,\qquad \sin(2\pi+t)=\sin t,$$

$$\operatorname{tg}(\pi+t)=\operatorname{tg}t,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\sin t.$$

Тогда

$$\frac{\sin(\pi+t)\cdot \sin(2\pi+t)}{\operatorname{tg}(\pi+t)\cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}=\frac{(-\sin t)\cdot \sin t}{\operatorname{tg}t\cdot(-\sin t)}=-\frac{\sin t}{\operatorname{tg}t}=-\cos t.$$

Ответ: $$-\cos t$$