Упр.9.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\sin(90^\circ-\alpha)+\cos(180^\circ+\alpha)+\tg(270^\circ+\alpha)+\ctg(360^\circ+\alpha)$$;
   б) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi-t)+\tg(\pi-t)+\ctg\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)$$.

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(90^\circ-a\right)=\cos a,$$
$$\cos\left(180^\circ+a\right)=-\cos a,$$
$$\tg\left(270^\circ+a\right)=\tg\left(90^\circ+a\right)=-\ctg a,$$
$$\ctg\left(360^\circ+a\right)=\ctg a.$$

Тогда

$$\sin\left(90^\circ-a\right)+\cos\left(180^\circ+a\right)+\tg\left(270^\circ+a\right)+\ctg\left(360^\circ+a\right)$$
$$=\cos a-\cos a-\ctg a+\ctg a=0.$$

Аналогично:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t,$$
$$\cos(\pi-t)=-\cos t,$$
$$\tg(\pi-t)=-\tg t,$$
$$\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-t\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\tg t.$$

Следовательно,

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi-t)+\tg(\pi-t)+\ctg\left(\frac{5\pi}{2}-t\right)$$
$$=\cos t-(-\cos t)-\tg t+\tg t=2\cos t.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$2\cos t$$.