Упр.9.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$2\cos(2\pi+t)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$;
• б) $$\sin(\pi+t)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$;
• в) $$2\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-\frac{1}{2}$$;
• г) $$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(2\pi+t)=1$$.

Используем формулы приведения.

а)

$$2\cos(2\pi+t)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$
$$2\cos t+\cos t=3$$
$$3\cos t=3$$
$$\cos t=1$$
$$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б)

$$\sin(\pi+t)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$
$$-\sin t-2\sin t=3$$
$$-3\sin t=3$$
$$\sin t=-1$$
$$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в)

$$2\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-\frac12$$
$$-2\sin t+\sin t=-\frac12$$
$$-\sin t=-\frac12$$
$$\sin t=\frac12$$
$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г)

$$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(2\pi+t)=1$$
$$3\cos t-\cos t=1$$
$$2\cos t=1$$
$$\cos t=\frac12$$
$$t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$