Упр.9.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: а) $$\frac{\operatorname{tg}(\pi-t)}{\cos(\pi+t)}\cdot\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}=\operatorname{tg}^2(t)$$

Преобразуем левую часть, используя формулы приведения:

$$\frac{\tg(\pi-t)}{\cos(\pi+t)}\cdot \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)} = \frac{-\tg t}{-\cos t}\cdot \frac{-\cos t}{-\ctg t}$$

$$= \frac{\tg t}{\ctg t} = \tg t\cdot \frac{1}{\tg t} = \tg^2 t.$$

Тождество доказано.

Преобразуем левую часть второго тождества:

$$\frac{\sin(\pi-t)}{\tg(\pi+t)}\cdot \frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+t\right)}\cdot \frac{\cos(2\pi-t)}{\sin(-t)} = \frac{\sin t}{\tg t}\cdot \frac{\tg t}{-\ctg t}\cdot \frac{\cos t}{-\sin t}$$

$$= \frac{\cos t}{\ctg t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \sin t.$$

Тождество доказано.