Упр.8.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Расположите в порядке возрастания числа: $$\sin 40^\circ$$; $$\sin 80^\circ$$; $$\sin 120^\circ$$; $$\sin 160^\circ$$.

Переведём углы в радианы:

$$40^\circ=\frac{2\pi}{9},\quad 80^\circ=\frac{4\pi}{9},\quad 120^\circ=\frac{2\pi}{3},\quad 160^\circ=\frac{8\pi}{9}.$$

Заметим, что

$$\sin 120^\circ=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3},\qquad \sin 160^\circ=\sin\left(\pi-\frac{8\pi}{9}\right)=\sin\frac{\pi}{9}.$$

Сравним значения по положению углов на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ и симметрии синуса относительно прямой $$x=\frac{\pi}{2}$$:

$$\sin\frac{\pi}{9}<\sin\frac{2\pi}{9}<\sin\frac{4\pi}{9}<\sin\frac{\pi}{3}.$$

Следовательно, в порядке возрастания:

$$\sin 160^\circ;\ \sin 40^\circ;\ \sin 120^\circ;\ \sin 80^\circ.$$

Ответ: $$\sin 160^\circ;\ \sin 40^\circ;\ \sin 120^\circ;\ \sin 80^\circ.$$