Упр.8.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Высота треугольника составляет $$5\ \text{см}$$, а углы, прилегающие к основанию, равны $$60^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$BH=5$$ см — высота треугольника, $$\angle A=45^\circ$$, $$\angle C=60^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.

В треугольнике $$ABH$$:

$$\tg 45^\circ=\frac{BH}{AH}$$

Так как $$\tg 45^\circ=1$$, то

$$AH=BH=5$$ см.

В треугольнике $$CBH$$:

$$\tg 60^\circ=\frac{BH}{HC}$$

Отсюда

$$HC=\frac{BH}{\tg 60^\circ}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$ см.

Тогда основание треугольника

$$AC=AH+HC=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}=\frac{5(3+\sqrt{3})}{3}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot \frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\cdot 5=\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}.$$

Ответ

$$\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\ \text{см}^2$$