Упр.8.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=4\sqrt{2}\) см, \(\angle A=45^\circ\), \(\angle C=30^\circ\). Найдите \(BC\), \(AC\) и площадь треугольника \(ABC\).

Найдём третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 45^\circ}=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$

Тогда

$$BC=AB\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac12}=8\text{ см}.$$

Теперь найдём сторону $$AC$$. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AH=AB\cdot \cos 45^\circ=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CBH$$:

$$CH=BC\cdot \cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AC=AH+CH=4+4\sqrt{3}=4(1+\sqrt{3})\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH.$$

Найдём высоту:

$$BH=AB\cdot \sin 45^\circ=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\text{ см}.$$

Тогда

$$S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot 4(1+\sqrt{3})\cdot 4=8(1+\sqrt{3})\text{ см}^2.$$

Ответ: $$BC=8\text{ см},\quad AC=4(1+\sqrt{3})\text{ см},\quad S_{\triangle ABC}=8(1+\sqrt{3})\text{ см}^2.$$