Упр.8.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$.

Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$

По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними получаем:

$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin\alpha,$$

$$S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC\cdot \sin\alpha,$$

$$S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin\alpha,$$

$$S_{DOA}=\frac12 DO\cdot AO\cdot \sin\alpha.$$

Складывая, получаем:

$$\begin{aligned} S_{ABCD} &= \frac12 \sin\alpha\,(AO\cdot BO+BO\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot AO) \\ &= \frac12 \sin\alpha\,(BO(AO+OC)+OD(AO+OC)) \\ &= \frac12 \sin\alpha\,(AO+OC)(BO+OD). \end{aligned}$$

Но $$AO+OC=AC$$, а $$BO+OD=BD$$, значит

$$S_{ABCD}=\frac12\,AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $$S=\frac12\,d_1d_2\sin\alpha$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали четырёхугольника, $$\alpha$$ — угол между ними.