Упр.7.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: а) $$\sin t=\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}

а) Так как $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол лежит во второй четверти: $$\sin t>0,\ \cos t<0,\ \tg t<0,\ \ctg t<0.$$

Найдём косинус:

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t} =-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{16}{25}} =-\sqrt{\frac{9}{25}} =-\frac35.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{\frac45}{-\frac35} =-\frac43,\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac34.$$

б) Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол лежит в первой четверти: все тригонометрические функции положительны.

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t} =\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} =\frac{5}{12},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{12}{5}.$$

в) Так как $$-\frac{\pi}{2}<t<0,$$ то угол лежит в четвертой четверти: $$\sin t<0,\ \cos t>0,\ \tg t<0,\ \ctg t<0.$$

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t} =\sqrt{1-(-0{,}6)^2} =\sqrt{1-0{,}36} =\sqrt{0{,}64} =0{,}8.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{-0{,}6}{0{,}8} =-\frac34,\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac43.$$

г) Так как $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти: $$\sin t<0,\ \cos t<0,\ \tg t>0,\ \ctg t>0.$$

$$\sin t=-0{,}28=-\frac{7}{25}.$$

Найдём косинус:

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t} =-\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{49}{625}} =-\sqrt{\frac{576}{625}} =-\frac{24}{25}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t} =\frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} =\frac{7}{24},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{24}{7}.$$

Ответ: а) $$\cos t=-\frac35,\ \tg t=-\frac43,\ \ctg t=-\frac34;$$ б) $$\cos t=\frac{12}{13},\ \tg t=\frac{5}{12},\ \ctg t=\frac{12}{5};$$ в) $$\cos t=0{,}8,\ \tg t=-\frac34,\ \ctg t=-\frac43;$$ г) $$\cos t=-\frac{24}{25},\ \tg t=\frac{7}{24},\ \ctg t=\frac{24}{7}.$$