Упр.7.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях $$t$$ выражение принимает одно и то же значение; укажите это значение:
   а) $$\sin^4(t)-\cos^4(t)+2\cos^2(t)$$;
   б) $$\frac{2-\sin^2(t)-\cos^2(t)}{3\sin^2(t)+3\cos^2(t)}$$.

а) $$\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t=(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)+2\cos^2 t.$$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем

$$\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t=\sin^2 t-\cos^2 t+2\cos^2 t=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

б) $$\frac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}=\frac{2-(\sin^2 t+\cos^2 t)}{3(\sin^2 t+\cos^2 t)}.$$

С учётом $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем

$$\frac{2-1}{3\cdot 1}=\frac13.$$

в) $$\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t=(\sin^2 t+\cos^2 t)^2=1^2=1.$$

г) $$\frac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}=\frac{(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)}{\sin^2 t-\cos^2 t}=\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$

при $$\sin^2 t-\cos^2 t\ne 0.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac13$$; в) $$1$$; г) $$1$$.