Упр.7.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\cos^2(t)}{1-\sin t}-\sin t=1$$;
   б) $$\frac{\sin^2(t)}{1+\cos t}+\cos t=1$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos^2 t}{1-\sin t}-\sin t = \frac{\cos^2 t-\sin t(1-\sin t)}{1-\sin t} = \frac{\cos^2 t-\sin t+\sin^2 t}{1-\sin t}$$

Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1,$$ получаем

$$\frac{1-\sin t}{1-\sin t}=1.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin^2 t}{1+\cos t}+\cos t = \frac{\sin^2 t+\cos t(1+\cos t)}{1+\cos t} = \frac{\sin^2 t+\cos t+\cos^2 t}{1+\cos t}$$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем

$$\frac{1+\cos t}{1+\cos t}=1.$$

Тождество доказано.