Упр.7.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Дано: $$\sin(4\pi+t)=\frac{3}{5}$$, $$0<t<\frac{\pi}{2}$$. Вычислите $$\tg(\pi-t)$$.
   б) Дано: $$\cos(2\pi+t)=\frac{12}{13}$$, $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$$. Вычислите $$\ctg(\pi-t)$$.

а) Из условия $$\sin(4\pi+t)=\frac35,$$ а так как $$\sin(4\pi+t)=\sin t,$$ то

$$\sin t=\frac35.$$

Поскольку $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ угол $$t$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos t>0$$ и

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\tg(\pi-t)=-\tg t=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\frac{3/5}{4/5}=-\frac34.$$

б) Из условия $$\cos(2\pi+t)=\frac{12}{13},$$ а так как $$\cos(2\pi+t)=\cos t,$$ то

$$\cos t=\frac{12}{13}.$$

Поскольку $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi,$$ угол $$t$$ лежит в четвертой четверти, значит $$\sin t<0$$ и

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\ctg(\pi-t)=-\ctg t=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\frac{12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}.$$

Ответ

а) $$-\frac34$$; б) $$\frac{12}{5}$$.