Упр.7.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$1+\sin t=\frac{\cos t+\operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$$;

б) $$\frac{1-\sin t}{\cos t}=\frac{\cos t}{1+\sin t}$$.

Преобразуем правые и левые части тождеств, используя определения $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$$ и основное тригонометрическое тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

1. $$\dfrac{\cos t+\ctg t}{\ctg t}=\dfrac{\cos t+\dfrac{\cos t}{\sin t}}{\dfrac{\cos t}{\sin t}}=\dfrac{\cos t\left(1+\dfrac{1}{\sin t}\right)}{\dfrac{\cos t}{\sin t}}=1+\sin t.$$

   Тождество доказано.

2. $$\dfrac{1-\sin t}{\cos t}=\dfrac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{\cos t(1+\sin t)}=\dfrac{1-\sin^2 t}{\cos t(1+\sin t)}=\dfrac{\cos^2 t}{\cos t(1+\sin t)}=\dfrac{\cos t}{1+\sin t}.$$

   Тождество доказано.

3. $$\dfrac{\sin t+\tg t}{\tg t}=\dfrac{\sin t}{\tg t}+1=\dfrac{\sin t}{\dfrac{\sin t}{\cos t}}+1=\cos t+1.$$

   Тождество доказано.

4. $$\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\dfrac{\sin t(1+\cos t)}{(1-\cos t)(1+\cos t)}=\dfrac{\sin t(1+\cos t)}{1-\cos^2 t}=\dfrac{\sin t(1+\cos t)}{\sin^2 t}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}.$$

   Тождество доказано.