Упр.7.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1-\sin^2(t)}{1-\cos^2(t)}+\operatorname{tg}t\cdot\operatorname{ctg}t$$; б) $$\frac{\cos^2(t)-\operatorname{ctg}^2(t)}{\sin^2(t)-\operatorname{tg}^2(t)}$$.

а) Используем тождество $$1-\sin^2 t=\cos^2 t$$ и $$1-\cos^2 t=\sin^2 t$$:

$$\frac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t}+\tg t\cdot \ctg t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1 = \frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sin^2 t}$$

б) Преобразуем выражение, используя $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}$$ и $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}$$:

$$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t} = \frac{\cos^2 t-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^2 t\left(1-\frac{1}{\sin^2 t}\right)}{\sin^2 t\left(1-\frac{1}{\cos^2 t}\right)}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t} = \frac{\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t-1}{\sin^2 t}}{\sin^2 t\cdot \frac{\cos^2 t-1}{\cos^2 t}} = \frac{\cos^2 t\cdot \left(-\cos^2 t\right)/\sin^2 t}{\sin^2 t\cdot \left(-\sin^2 t\right)/\cos^2 t} = \frac{\cos^4 t}{\sin^4 t}\cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \ctg^6 t.$$

Ответ: $$\ctg^6 t$$