Упр.7.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$s=f(t)$$, если:
а) $$f(t)=1-(\cos^2(t)-\sin^2(t))$$;
б) $$f(t)=1-\sin t\cdot\cos t\cdot\tg t$$;
в) $$f(t)=\sin t+3\sin^2(t)+3\cos^2(t)$$;
г) $$f(t)=\cos^2(t)\cdot\tg^2(t)+5\cos^2(t)-1$$.
а) $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)=(\sin^2 t+\cos^2 t)-(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\sin^2 t.$$
Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то
$$0\le 2\sin^2 t\le 2.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$0,$$ наибольшее — $$2.$$
б) $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$
При этом $$\cos t\ne 0,$$ то есть $$t\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,$$ $$k\in \mathbb{Z}.$$
Значения $$\cos^2 t$$ лежат в промежутке $$0\le \cos^2 t\le 1,$$ но значение $$0$$ не достигается, так как при $$\cos t=0$$ функция не определена.
Значит, наибольшое значение равно $$1,$$ а наименьшего значения нет.
в) $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$
Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то
$$2\le \sin t+3\le 4.$$
Следовательно, $$f_{\min}=2,$$ $$f_{\max}=4.$$
г) $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1.$$
Преобразуем:
$$\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$
Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ получаем
$$f(t)=1-\cos^2 t+5\cos^2 t-1=4\cos^2 t.$$
При этом $$\tg t$$ определена только при $$\cos t\ne 0,$$ значит $$\cos^2 t>0.$$ Тогда
$$0<4\cos^2 t\le 4.$$
Следовательно, наибольшое значение равно $$4,$$ а наименьшего значения нет.
Ответ: а) $$0$$ и $$2$$; б) наибольшое значение $$1$$, наименьшего нет; в) $$2$$ и $$4$$; г) наибольшое значение $$4$$, наименьшего нет.
