Упр.7.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\operatorname{ctg} t=\frac{12}{5},\quad \pi

Используем формулы:

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}, \qquad \sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}, \qquad \cos^2 t=\frac{\ctg^2 t}{1+\ctg^2 t}.$$

1. $$\ctg t=\frac{12}{5}, \qquad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в третьей четверти, значит, $$\sin t<0,\quad \cos t<0,\quad \tg t>0.$$

   $$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 t}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13},$$
   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13},$$
   $$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{5}{12}.$$

   Ответ: $$\sin t=-\frac{5}{13},\quad \cos t=-\frac{12}{13},\quad \tg t=\frac{5}{12}.$$

2. $$\ctg t=\frac{7}{24}, \qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в первой четверти, значит, все тригонометрические функции положительны.

   $$\sin t=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 t}} =\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}} =\sqrt{\frac{576}{625}} =\frac{24}{25},$$
   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{7}{24}\cdot\frac{24}{25}=\frac{7}{25},$$
   $$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{24}{7}.$$

   Ответ: $$\sin t=\frac{24}{25},\quad \cos t=\frac{7}{25},\quad \tg t=\frac{24}{7}.$$

3. $$\ctg t=-\frac{5}{12}, \qquad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi.$$

   Точка $$t$$ лежит в четвертой четверти, значит, $$\sin t<0,\quad \cos t>0,\quad \tg t<0.$$

   $$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 t}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13},$$
   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13},$$
   $$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{12}{5}.$$

   Ответ: $$\sin t=-\frac{12}{13},\quad \cos t=\frac{5}{13},\quad \tg t=-\frac{12}{5}.$$

4. $$\ctg t=-\frac{8}{15}, \qquad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

   Точка $$t$$ лежит во второй четверти, значит, $$\sin t>0,\quad \cos t<0,\quad \tg t<0.$$

   $$\sin t=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 t}} =\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac{8}{15}\right)^2}} =\sqrt{\frac{225}{289}} =\frac{15}{17},$$
   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{8}{15}\cdot\frac{15}{17}=-\frac{8}{17},$$
   $$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{15}{8}.$$

   Ответ: $$\sin t=\frac{15}{17},\quad \cos t=-\frac{8}{17},\quad \tg t=-\frac{15}{8}.$$